прибыль на единицу продукта

1) Экономика: прибыль на единицу продукта, удельная прибыль

2) Бухгалтерия: прибыль на единицу продукции

3) Реклама: прибыль в расчёте на единицу продукции, прибыль в расчёте на товарную единицу

 

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming

1) Экономика: доля прибыли в цене единицы продукта, маржинальный доход на единицу продукции, удельная валовая прибыль

2) Реклама: размер прибыли на товарную единицу

[kɔst]

acquisition cost первоначальная стоимость acquisition cost стоимость приобретения acquistion cost стоимость приобретения actual cost реальная стоимость actual cost фактическая себестоимость all-in cost высокий процент для дебитора alternative cost эк.произ. альтернативные издержки производства alternative cost эк.произ. оптимальные издержки applied cost понесенные расходы appraisal cost стоимость оценки cost price себестоимость; cost accounting ведение отчетности; калькуляция стоимости; at any cost, at all costs любой ценой; во что бы то ни стало cost price себестоимость; cost accounting ведение отчетности; калькуляция стоимости; at any cost, at all costs любой ценой; во что бы то ни стало at the cost (of smth.) ценою (чего-л.); at one's cost за (чей-л.) счет at the cost (of smth.) ценою (чего-л.); at one's cost за (чей-л.) счет breakeven cost издержки при критическом объеме производства breaking-in cost стоимость освоения изделия burial cost стоимость похорон business cost расходы по торгово-промышленной деятельности capitalized cost стоимость реального основного капитала construction cost стоимость строительства cost назначать цену, расценивать (товар) cost назначать цену cost оценивать товар cost расплата cost расход (времени); расходование cost расходы cost стоимость cost стоить, обходиться; it cost him infinite labour это стоило ему огромного труда; it may cost you your life это может стоить вам жизни cost стоить cost pl судебные издержки cost судебные издержки cost цена, стоимость (тж. перен.); prime cost фабричная себестоимость; costs of production издержки производства; cost of living прожиточный минимум cost цена cost and freight ком. стоимость и фрахт; cost, insurance and freight (сокр. с. i. f.) ком. стоимость, страхование, фрахт cost and freight ком. стоимость и фрахт; cost, insurance and freight (сокр. с. i. f.) ком. стоимость, страхование, фрахт freight: cost and cost (C and F) стоимость и фрахт cost of acquisition стоимость покупки cost of acquisition стоимость приобретения cost of capital стоимость капитала cost of clearance of debris стоимость очистки от строительного мусора cost of demolition стоимость разборки cost of dismantling стоимость демонтажа cost of goods sold стоимость проданных товаров cost of heating стоимость отопления cost of issue бирж. стоимость эмиссии cost of labour стоимость рабочей силы cost of legal proceedings стоимость судебного разбирательства cost цена, стоимость (тж. перен.); prime cost фабричная себестоимость; costs of production издержки производства; cost of living прожиточный минимум cost of living прожиточный минимум cost of living стоимость жизни cost of materials стоимость материалов cost of office and workshop space стоимость конторских и производственных помещений cost of production издержки производства cost of production себестоимость cost of repairs стоимость ремонта cost of replacement стоимость замены cost of sales себестоимость реализованной продукции cost of transportation транспортные расходы cost of treatment insurance страхование стоимости лечения cost of upkeep стоимость содержания в исправности cost per bit вчт. стоимость за бит cost per thousand цена за тысячу единиц продукции cost price себестоимость; cost accounting ведение отчетности; калькуляция стоимости; at any cost, at all costs любой ценой; во что бы то ни стало price: cost cost цена, принимаемая при калькуляции издержек производства cost cost цена cost cost цена производства cost to borrower стоимость кредита cost цена, стоимость (тж. перен.); prime cost фабричная себестоимость; costs of production издержки производства; cost of living прожиточный минимум to count the cost взвесить все обстоятельства current cost стоимость в текущих ценах delivery cost стоимость доставки delivery cost стоимость поставки development cost стоимость опытно-конструкторских работ development cost стоимость разработки estimated cost ориентировочная стоимость estimated cost сметная стоимость estimated prime cost оценка себестоимости extra cost дополнительная стоимость factor cost прямые затраты factor cost прямые издержки factor cost факторные издержки factory cost заводская себестоимость funeral cost стоимость похорон harvesting cost стоимость уборки урожая historical cost эк.произ. первоначальная стоимость historical cost эк.произ. стоимость приобретения housing cost стоимость жилищного стороительства idle capacity cost стоимость резерва производственной мощности idle facilities cost стоимость бездействующих производственных мощностей imputed cost вмененная стоимость промежуточного продукта imputed cost вмененные издержки indemnity cost стоимость компенсации initial cost первоначальная стоимость initial cost стоимость приобретения cost and freight ком. стоимость и фрахт; cost, insurance and freight (сокр. с. i. f.) ком. стоимость, страхование, фрахт inventoriable cost инвентаризируемая стоимость cost стоить, обходиться; it cost him infinite labour это стоило ему огромного труда; it may cost you your life это может стоить вам жизни cost стоить, обходиться; it cost him infinite labour это стоило ему огромного труда; it may cost you your life это может стоить вам жизни job cost вчт. учет себестомости работ to know (to learn) to one's own cost знать (узнать) по горькому опыту labour cost стоимость рабочей силы loading cost стоимость погрузки loading cost стоимость погрузочных работ maintenance cost стоимость технического обслуживания manufacturing cost заводская себестоимость manufacturing: cost производственный; manufacturing cost стоимость производства marginal cost предельно высокая себестоимость opeerating cost производственные издержки opportunity cost вмененные издержки фирмы в результате принятого альтернативного курса opportunity cost вмененные потери в результате неиспользования альтернативного курса opportunity cost дополнительные издержки в виде переплаты за определенный фактор производства при сложившейся конъюнктуре opportunity cost издержки выбора инвестиций с меньшим доходом и большим риском в надежде на повышенную прибыль opportunity cost самый высокий доход по альтернативному виду инвестиций original cost первоначальная стоимость original cost первоначальные расходы original cost стоимость приобретения overhead costs накладные расходы costs: overhead cost накладные расходы partition cost стоимость раздела (имущества, территории) predicted cost нормативные издержки predicted cost стоимостные нормы cost цена, стоимость (тж. перен.); prime cost фабричная себестоимость; costs of production издержки производства; cost of living прожиточный минимум prime cost прямые издержки prime cost себестоимость prime cost фабричная цена prime: cost первоначальный, первичный; prime cause первопричина; prime cost полит.-эк. себестоимость production cost заводская себестоимость production cost производственные расходы proportional cost пропорциональная расценка repair cost стоимость ремонта replacement cost восстановительная стоимость replacement cost издержки замещения выбывающего основного капитала residual cost остаточная стоимость restoration cost стоимость реставрации running cost стоимость эксплуатации salvage cost стоимость спасательных работ sell below cost продавать ниже себестоимости sell below cost продавать ниже стоимости single cost себестоимость на единицу товара stabilization cost стоимость стабилизации standard cost типовая стоимость step cost скачкообразное изменение стоимости step cost скачок затрат storage cost стоимость хранения surplus cost чрезмерные затраты target cost запланированная величина издержек target cost плановые издержки total cost общая стоимость total delay cost вчт. общая стоимость ожидания total production cost общая заводская себестоимость unit cost себестоимость единицы продукции unit labour cost затраты на рабочую силу в расчете на единицу продукции unit labour cost удельные затраты на рабочую силу upkeep cost стоимость содержания variable cost переменные затраты variable cost переменные издержки variable cost переменные расходы weighted average cost средневзвешенная стоимость

 

нелинейное программирование
Раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями. В экономике это соответствует тому, что результаты (эффективность) возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства) - например, из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные, из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую, из-за влияния экстерналий (см.Внешняя экономия, внешние издержки) и т.д. В краткой форме задачу Н.п. можно записать так: F (x) ? max при условиях g (x) ? b, x ? 0. где x — вектор искомых переменных, F (x) — целевая функция, g (x) — функция ограничений (непрерывно дифференцируемая), b — вектор констант ограничений (выбор знака ? в первом условии здесь произволен, его всегда можно изменить на обратный). Решение задачи нелинейного программирования (глобальный максимум или минимум) может принадлежать либо границе, либо внутренней части допустимого множества. Иначе говоря, задача состоит в выборе таких неотрицательных значений переменных, подчиненных системе ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум (или минимум) данной функции. При этом не оговаривается форма ни целевой функции, ни неравенств. Могут быть разные случаи: целевая функция — нелинейна, а ограничения — линейны; целевая функция — линейна, а ограничения (хотя бы одно из них) - нелинейны; и целевая функция, и ограничения нелинейны. Задачи, в которых число переменных и (или) число ограничений бесконечно, называются задачами бесконечномерного Н.п.. Задачи, в которых целевая функция и (или) функции ограничений содержат случайные элементы, называются задачами стохастического Н.п. Например, задачу для двух переменных (выпуск продукта x и выпуск продукта y) и вогнутой целевой функции (прибыль — p) можно геометрически представить на чертеже (см. рис. H.4; заштрихована область допустимых решений). Эта задача реалистично отражает распространенное в экономике явление: рост прибыли с ростом производства до определенного (оптимального) уровня в точке B’, а затем ее снижение, например, вследствие затоваривания продукцией или исчерпания наиболее эффективных ресурсов. Нелинейные задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводят к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных. Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач. Нелинейные задачи в определенных условиях решаются с помощью функции Лагранжа (см. Множители Лагранжа, Лагранжиан): найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи. Среди вычислительных алгоритмов Н.п. большое место занимают градиентные методы. Универсального же метода для нелинейных задач нет, и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремальные задачи. Для некоторых типов задач выпуклого программирования (вид нелинейного) разработаны эффективные численные методы оптимизации Рис. Н.4 Нелинейное программирование (заштрихована область допустимых решений)
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика

EN

• nonlinear programming